Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

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immediate. Nous considererons, pour y parvenir, une transformee
de l'equation differentielle proposee, dont la variable z sera liee a
la variable y par la relation
y = emXz,
m- tant une constante arbitraire. Formons les derivees successives
dey; on aura
dz _ el"'x(mz-~ z'),
dx
d =y e-x 'x(z 4- 2mz' z),
d2y
On voit que, en substituant dans l'equation proposee, on obtient
le produit de emx par une fonction lineaire de z et de ses derivees.
Nous avons donc identiquement
dy day
a y -4 — x + ' + dxL emnx ( Gz; - H z' 4-... -4- Lz(n)
Pour calculer les coefficients constants G, H,..., L, remarquons
que nous n'avons fait aucune hypothese sur la nature de z, qui est
une fonction quelconque de x. Faisons z = eh^, h etant une constante; nous devons avoir identiquement, en divisant les deux
membres par le facteur e(m+h)x,
m4- P(m +- h) - Y(m+- h)2 +...-+- (m -t h)'-= G - Hh -...- Lhl.
Le premier membre est F(m + h); l'identite precedente devant
avoir lieu quel que soit h, les coefficients G, H,.. doivent etre
egaux respectivement aux coefficients des puissances successives
de h dans le developpement de F(m + h). On a donc
G = F (m),
H F'(m),..........I
L F'i(m)
L —
I..2... n
L'equation transformee est donc la suivante:
eli ZF(m)+ F ( 72t)d d2z F"(m) =
emX dx~m~q-~ (m)-t dx'2 1-..2.