Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

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form e
y = A eax + B etx... L ex,
a, b,..., I etant les racines de l'equation caracteristique, et A,
B,..., L, n constantes arbitraires qui peuvent etre nulles et qui
renferment le facteur 2 i7.
Supposons maintenant que l'equation caracteristique ait des
racines multiples, et soit
F(z) = (z —a) +- (-b),+....(z- )x+.La formule de decomposition est alors
In(z) A B
— ) ~ -k-. ~.
F(z) z-a.. (z- b) +
A,1 B,
(z-a)" (z-b)2 +'+ A -t- -....
(Z - a)+2l z - b ) +l
Nous aurons, en faisant z = a - h,
II(a - h) _A A, Aa
F(a -+- h) h /2 h-a+ '
les termes suivants ne contenant pas de puissances negatives de h;
d'ailleurs,
ex(a+h) = eax I. 2x hx
I I.'2 I.2... a
Pour avoir le r6sidu correspondant ia z a, c'est-a-dire le coefficient du terme en / dans le developpement de F( - h) ex(a+h) ii
suffit de multiplier les coefficients des termes qui se correspondent
dans les seconds membres des deux egalites precedentes. On trouve
ainsi pour expression du residu, et par consequent pour une solution de l'equation differentielle proposee,
I*/ Aix Ax \
i 7rc ea x A --... - -a
I\e- -- 1.2....
La solution generale sera donc de la forme
ea(, + Jlix +...4 ax ) + ebx ( l + )1 X +.. + lJP) )+...
+ ex ( ~ +t X +..-+ SXx'),