Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

INTEGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES.

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Nous obtenons ainsi la relation
_ S(x)
(x - a) (x-c b)...(x —1)
(l —A 1 Act (e - 2Aa2
= (2A- o) 1og' - -4- -- - I a 2.. C
X 2X2 X"
oul le terme logarithmique, dans le second membre, doit necessairement disparaitre, un tel terme ne pouvant provenir du developpement d'une fonction rationnelle suivant les puissances descendantes de la variable. Nous avons done la condition
ZA =o,
dont il est souvent fait usage, surtout dans le cas oi le degre
de F, (x) etant inferieur de deux unites a celui de F(x), on
a o =o (').
Soit maintenant, pour abreger,
ow,- SAafl
=,I1,
le polynome S(x), que nous nous proposons de determiner, sera
donne par cette expression
(x)=-(x-a)Vx-b)...(x — 1)(), + + +... )
oil il est necessaire que les termes en nombre infini contenant x
en denominateur se detruisent, de sorte qu'il suffira d'en extraire
la partie entiere. Soit, a cet effet,
(x - a)7- (x-b)...(x- )) = x N — p x^m-1 + p zxm-a -....-p,,;
on trouve sur-le-champ
S(X)= (X"l-i -t pt "-2 -... - p,, 1 )
A+:2(x'n-2 —+p Xl'-3 -..+pm-2) -+.. -.+- 7-,, (X -p) +-t 7tm,
et nous voyons qu'on pourra s'arreLer dans les developpements de

F,(x)
(1) Les quantites A, B,..., L etant les rdsidus de la fonction F() correspondant aux diverses racines du denominateur, la somme MA a recu de Cauchy
la denomination de residu integral de cette fonction.