Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

498 OEUVRES DE CHARLES HEIMITE.
T(z) etant un polynome entier en z de degre inferieur a n, d'ou
l'on tire
eZXH(z ) d =- e()+ F(Z)
F(z) (z) d
mais, en integrant le long d'un contour ferme quelconque, on voit
que la premiere integrale s'evanouit, puisque I)(z) est un polynome
entier, et il ne reste que la seconde oiu W(z) renferme au plus
n constantes arbilraires, puisque son degre est au plus egal
an-.
Nous allons maintenant passer de l'expression de la solution sous
forme d'integrale a une expression sous forme explicite.
Soit S la somme des residus de la fonction e (z) qui corresF(z)
pondent aux racines du denominateur affixes de points interieurs
au contour d'integration.
L'integrale aura pour valeur 2 iTS.
Calculons ces residus.
Supposons d'abord que l'equation caracteristique n'ait pas de
racine multiple, et decomposons la fonction - ) en elements
F (z)
simples. On pent toujours supposer que le degre II(z) est inferieur a celui de F(z); par suite, le resultat de la decomposition
sera
Hi(z) A B L
~' ~ ~........
F(z) z-a z —b z- I
Faisons z -a + h dans la fonction e; elle devient
F(z)
ex(a+/h)t (a -- h) / hx h2 \
----- e I- -- 4- --- +
F(a — h) ) 1.2
X ~ +-P + qh+- rh2+....),
puisque le terme - donne seul un terme en - Le residu sera
z -a h
donc egal a Aeax; on a donc pour premiere solution, en integrant
le long.d'un contour qui ne contient que la racine a, izcAea.
En general, le contour pouvant contenir un nombre quelconque
de poles de la fonction e-zx (z) la solution generale sera de la
F(z)