Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LE CONTACT DES SURFACES. 495
On en tire, par la diff6rentiation, ces quatre dernieres equations, ou entrent les derivees partielles du troisieme ordre, et qui
ne contiennent plus que ]es coefficients a', b, b', c" sous forme
homogene
og 4-+ 3(a"p - b') r = o,
o h -(- (a" q -- b ) r - (a" p - b') s = o,
wk -+ (a"p -- b') t -+- 2(a"q -- b )s o,
ol + 3(a"q + b)t =t o.
Voici la consequence remarquable a laquelle elles conduisent;
deux d'entre elles donnent
a" p t-6' b': - a qtwl
3r a"q+b 3t
et, en substituant dans les deux autres, la quantite o disparaitra
comme facteur commun, de sorte qu'au lieu d'une seule equation
de condition entre x et y, nous obtenons les deux suivantes (i):
3 hrt -- 1r2 - gst = o,
3 krt - g t2 2 rs = (.
Mais, en meme temps, les inconnues a", b, b', c" entre lesquelles
on n'a plus que deux equations, et par suite tous les coefficients
de F(X, Y, Z), s'exprimeront en fonction lineaire et homogene de
deux indeterminees ) et., de sorte qu'on doit poser
F(X, Y, Z) =Xc tI+ 1,
ou ~( et >F sont des polynomes entierement determines. I1 s'ensuit
qu'en un nombre fini de points de la surface z =f(x,y), et non
le long d'une ligne comme on l'avait d'abord presume, nous obtenons un faisceau de surfaces, au lieu d'une surface osculatrice
unique du second degre (2).

(1) Elles expriment, cornmie on le v6rifie aisement, que le polynome du troisimne degr6 g)3 — 3h)2-i2 3k) + I est exactement divisible par i)'V+- 2SX +- t.
(2) II est remarquable qu'on trouve des lignes en appliquant cette theorie aux
surfaces du troisi6me degr6; ces lignes sont les 27 droites situees sur ces surfaces.