Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LE CONTACT DES SURFACES.

493

de sorte qu'en faisant
dz dz d2z d2z d2z
P = -q =y dx2' x s xdy dynous les obtiendrons en remplacant dans les relations precedentes, X, Y, Z, P, Q, R, S, T par x, y, z, p, q, r, s, t, ce qui
donnera
x - a - y(z c) = o,
y- b -+ q(z -- c) = o,
I +- p -+ r(z - C) = o,
pq + s(z - c) o,
I - q2 t(z - c) = 0.
Cela etant, les trois dernieres conduisent immediatement par
l'eliminalion de c ou plut6t de z - c aux deux equations de condition cherchees entre x ety, savoir
I- p2 _ pq _ -q2
1' s t
et en chassant les denominateurs,
(i -+p2)S -pqr= o,
(i -- p2)t - (I -- 72)' = o.
On donne le nom d'ombilics aux points de la surface z =f(x, y),
que determinent ces relations, et que bientot nous verrons s'offrir
sous un autre point de vue. Je me bornerai en ce moment a les
obtenir a l'egard de l'ellipsoide
X2 )rI z2
a2 b2 Z2 -
ou ils ont un role extremement important dans l'etude geometrique
des courbes tracees sur cette surface. En formant a& cet effet les
valeurs des quantites p, q, r, s, t, on trouve
C2 C2y
P= ---- q
a2nz b2 z
C_ ( bc - y2) c xy 0c4 (a2 -- 2)
-- ',Ib2z3' S = aIz' - a2b2Z3
a2 ba p3 aq b i z3 a" s e z3
et apres quelques reductions, il viendra simplement
(a2 —c2)xy =, b2(t2- c2)z2- a2(b2 —c2)y2- a2b2(a' ---b2)= o.