Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

492 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
theorie actuelle ne semble pas applicable au dela du plan et du
contact du premier ordre. La consideration suivante permettra
cependant d'aller plus loin. En disposant des deux coordonnees
d'un point d'une surface, on peut en effet ajouter deux constantes
a celles qui determinent une sphere, et par consequent la rendre
en ces points osculatrice du second ordre, puisqu'on aura le
nombre voulu de six quantites arbitraires. En disposant d'une
seule des coordonnees on ajoute une arbitraire aux neuf coefficients d'une surface du second degre, ce qui permettra de la rendre
osculatrice du troisieme ordre, non plus alors en un certain nombre
de points, mais comme il le semble au premier abord, tout le long
d'une ligne determinee d'une surface quelconque. Nous allons
traiter ces deux questions.
V. L'equation de la sphere etant
(X -- a)2-+(Y -- 4- b)2 -(Z — c)2= R2,
on obtiendra les derivees du premier ordre
dZ dZ
d X Q --
dX' dY
par les relations
X-a -t P(Z - c) o,
Y-b i-Q(Z -c)= o,
et celles du second
d2 Z d2 Z d2 Z
R z So T- 2
R —dX7z S —cXdY' dY2'
par celles-ci, qui s'en deduisent en differentiant successivement par
rapport a X et a Y,
i P2 + R(Z - c) =o,
PQ S(Z -c) = o,
- Q2 +T(Z - c) o.
Or les conditions du contact du second ordre avec une surface
quelconque z =f(x,y), au point X x, Y =y, sont
Z~~z, ~~ dz dz
Z = z, P = Q =
d2z d2z d 2z
R x S =dxdy T= -
dx^T dx dy dy