Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR,E CONTACT DES SURFACES.

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revolution
-f(, P) - o,
en faisant
a = X2 + y2, =
serontL
X- x Y-y Z-z
xf'(E) 2y/'(a) - f'()
x y
et les deux prerieres se reduisant a - - - il en resulte que cette
x. y
droite est dans le plan determine par le point (x,y,z) et l'axe
des Z, qui est l'axe de revolution de la surface.
IV. Une surface recoit le nom d'osculatrice, lorsqu'on a dispose
de toutes les constantes qui fixent sa position et determinent sa
nature, de maniere a obtenir, avec une surface donnee, le contact
de l'ordre le plus eleve possible. C'est la, comme on voit, l'extension naturelle de la notion qui s'est offerte dans la theorie du
contact des courbes considerees sur un plan ou dans l'espace, et
qui a recu, dans le cas du cercle, une application d'une grande
importance. Mais toute surface ne peut point devenir osculatrice
d'une autre, comme toute courbe plane, quelle qu'elle soil, d'une
ligne donnee. II faut en effet que le nombre des constantes a determiner soit un terme de la serie
(n —I) (n + 2)
3, 6, 10, 15, 21,...,
de sorte qu'il n'y a ni sphere, ni surface du second degre osculatrices, puisque leurs equations generales renferment repectivement 4 et 9 coefficients. En general, une surface du mlenle degre
(m -)(m -4-2)(m-+-3)
en contient (m- )(m-2)( —3) - i, ce qui conduit a poser
6~~ ~ 6
I'equation
(n — i) (n -t- 2) (m -- i)(m -+-) (n -- 3)
zL 6
dont il y aurait lieu ainsi de rechercher toutes les solutions en
nombres entiers et positifs pour iz et n. Mais 1'Arithmetique superieure ne donne a cet egard aucune methode, et je me bornerai a
remarquer qu'on y satisfait, par les moindres nombres, en prenant m 5 et n - 9. I1 n'y a done aucune surface algebrique, de
degre inferieur a 5, pouvant etre osculatricd, de sorte que la