Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

38

OEUVRES DE CHARLES HERMITI.

les constantes A, B,..., L seront toutes nulles. Ces conditions,
qui sont suffisantes, sont evidemment necessaires; car, si l'on egale
pour un instant a une fraction rationnelle la quantite
A log(x - a) = x - dx,
et qu'on prenne la d6rivee de cette fonction rationnelle apres
l'avoir decomposee en fractions simples, on fera ainsi disparaitre
toutes les fractions partielles dont les denominateurs sont du premier degre. On ne pourra donc reproduire l'expression Z Ala decomposition en fractions simples n'etant possible que d'une
seule maniere.
Remarquons aussi que la partie algebrique de l'integrale est de la
forme.((x1- ), -b))... (x -)' ^(x) etant un polynome entier
qu'on peut facilement obtenir, comme on va le voir, a l'aide des
developpements en serie suivant les puissances decroissantes de la
variable, de l'integrale et de la partie transcendante. On forme le
premier en supposant qu'on ait, par la division algebrique,
F1(x) (a, o (OWI
F(x) x + x3 "
de la, nous tirons, en effet, en integrant les deux membres,
F() dx = w logx - 2 -....
F(x) x ax'
Quant au second, il sufflt d'employer la serie eiementaire
I 1 a a2
= -- -+- -- -4-...,
x-a x 2....
pour en conclure
A NA EAa cAax - a x 4 X ' '
puis, en integrant,
Aa Z Aa2
EAlog(x- a) = EA logx ---
x X?