Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

488 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
I1. En premier lieu, nous envisagerons le plan
Z = aX -+- bY -+c,
dont l'equation renferme trois coefficients, de sorte qu'on peut,
comme pour la ligne droite a l'egard d'une courbe, obtenir, en un
point quelconque
X=x Y=y,
un contact de premier ordre avec toute surface z =f(x,y). Ayant
en effet
F(X, Y) = aX -- bY c,
les conditions
dF df dF df
F(ax, y) =f(x, y), d = d= -dy
donnent immediatement
dz dz
=ax -- by-+ c, a= z- b = -
et l'on retrouve ainsi l'equation deja obtenue du plan tangent sous
la forme
dz dz
Z - z = (X -X) - (Y -).
Nous remarquerons, avant de faire les applications de ce resultat,
qu'en supposant parallele au plan coordonne des XY le plan tangent
en x,y, z a la surface z =f(x,y), on a necessairement
df df
-- = o, -- = o.
dx dy
Et si le plan des XY est lui-meme tangent, l'origine des coordonnees, la fonction f(x,y) ainsi que ses derivees partielles du
premier ordre s'annuleront pour x o, y- o, de sorte que le
developpement par la serie de Maclaurin de l'ordonnee z suivant
les puissances croissantes de x et y commencera seulement aux
termes du second degre, et sera de la forme
z = ax2 - bxy -- cy2 - dx -- e x2y -....
De la se deduirait que la distance au plan tangent d'un point
d'une surface infiniment voisin d'un point de contact est un infini