Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Cela pose, la quantite
8 = f/(a - h, b -+ wh)
pourra se developper en serie suivant les puissances croissantes
de h, et il sera desormais entendu qu'elle est infiniment petite
d'ordre n -+-, lorsque independamment de toute valeur attribuee
a w, les coefficients des puissances de h jusqu'a la ni"me seront tous
nuls. En admettant ce principe, on deduira sur-le-champ de la
definition de l'ordre du contact a l'egard des deux surfaces, ces
consequences qu'il suffit d'enoncer:
i~ Les trois differences X - x, Y -y, Z - z doivent e-tre chacune infiniment petites de l'ordre n +;
2~ Ces conditions restent les memes en changeant les axes coordonnes.;
3~ Elles subsistent si l'on change de variables independantes,
en posant
t =f(, A), t = f(T, ).
Ainsi en admettant qu'a t =a, u= b repondent z ca, u,
et qu'on ait
a + h = f(a +i, t, b + j k=f(+i, - j),
si les quantites X-x, Y y, Z — z sont infiniment petites
d'ordre n +- par rapport a h et k, elles seront infiniment petites
du mnme ordre par rapport a i etj.
4~ Prenant d'apres cela pour variables independantes les coordonnees x et y, de sorte que les equations des surfaces deviennent
z = f(x, y),
X = (, y), Y = 1(x, y), Z=F(, y),
une des trois fonctions S, s, F determine la nature de la seconde
surface, les deux autres, ^ et S\ par exemple, la loi de correspondance de leurs points, et les conditions relatives aux differences
X -- x, Y-y caracterisent les lois de correspondances compatibles avec la definition de 'ordre du contact. Quant aux conditions concernant les surfaces elles-memes, elles se deduisent des
developpements que donne la serie de Taylor etendue a deux