Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

48.I OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
en la transformant, au moyen de la relation
xoc+pg = (xct+gx, ),
en une fonction rationnelle des deux seules racines x, et xa+6,
cette fonction devra se reduire a une quantite connue. Effectivement, si uine fonction
u = 4(xa+g, Xa)
conserve la meme valeur, quels que soient les indices a et c, le
second indice etant diffdrent de zero, on peut ecrire
n — n-i
n(n -1) u =1 V (X,+g XE),
0 1
relation"[dont le second membre est une fonction symetrique de
toutes les racines xO, x1,..., xn-_.
II resulte de la que nous pouvons regarder les n - quantites
n(xa, X+g), n(xa, XI+p),,..,.(.., +p1-)
co mine les racines d'une equation abelienne resoluble par l'extraction d'un seul radical de degre n - i. Or, ces quantits une fois
obtenues, nous connaissons, pour toutes les valeurs de 6, excepte
6=0o, la puissance nime'e de la fonction rdsolvante F(6go); done,
par l'extraction de n- i radicaux du nieme degre, nous aurons ces
diverses fonctions resolvantes, et, par consequent, les racines
elles-memes. On sait d'ailleurs, par une observation d'Abel, que
ces n - i radicaux s'expriment rationnellement en fonction de
l'un d'entre eux et des quantites sur lesquelles ils portent, quantites qui sont, comme nous venons de le dire, les racines d'une
equation abelienne.