Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR UN THEOREME DE GALOIS.

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racines arbitraires xo, xo+s, et met immediatement en evidence
dans quel ordre elles naissent ainsi les unes des autres.
II est aise de demontrer que, reciproquement, la relation
pr6cedente, admise entre trois racines x,, x,+g, x,+pg, entraine la
resolution par radicaux de l'equation.
A cet effet, soient 0 une racine de l'equation binome xn1 i, et
F(0) = (x0o 0- x-+ 02x2...- + 0t-l Xn-1)'
la fonction resolvante de Lagrange. D'apres la propriete caracteristique de cette fonction, on pourra, sans alterer sa valeur,
ajouter aux indices des racines un nombre entier arbitraire a, et
ecrire
F(0) = (xa-+ Ox a+O + 2x2+..+-..+ - -ix+l-1l).
Cela pose, soit g un autre nombre entier arbitraire, mais diff6rent
de zero, et prenons 60 de maniere qu'on ait
go= I (mod. n);
on voit immediatement qu'on a
F(06o) = (xa -t- 0 xa++ -t- 02+2-+. -. O- t xO-a+(n-l)g)
et il est clair qu'en employant la relation
Xpt+a — (x + a, x ),
on pourra, par des substitutions successives, transformer le second
membre en une fonction rationnelle 11 de deux racines x, xa+o,
de maniere a avoir
F(e0o) = I (xa, x+o g)
pour une valeur quelconque de l'indice arbitraire a.
Cela etant, soit, comme plus haut, ) une racine de l'equation
binome xn- -- i, la fonction
[n(xa, Xa,+) + 1n(xZ, x+-pg)
+ \- II( xa, Loaf p20) +.. * + ~ - x tHLp 1-(, Xtp'r-2 )]^-1
conserve la meme valeur quand on met p6 au lieu de 6, c'est-a-dire
qu'elle est independante de la valeur attribuee a C. Chacun des
termes dont elle se compose est d'ailleurs independantde a; donc,