Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

482 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
ses facteurs lineaires, appartient a la classe des equations
abeliennes.
En effet, relativement a l'equation de degre n - I, qu'on obtient
par la suppression du facteur x - x,, et dont les racines ont ete
representees par
x+i-a Xp+-a, Xp2+ —o *, X pn-2-+,
on connait rationnellement la fonction resolvante
(Xl+ai - X Xp+a+ 2 pa —... + )l-2 xpn-,+a)-1.-l
Les trois lemmes que nous venons de demontrer permettent maintenant d'etablir tres aisement le theoreme que nous avons
en vue. Faisons pour un instant
Xpk+a - = Xkc
Puisque nous connaissons (lemme III), en fonction rationnelle
de x., 1'expression
(Xo — ) X + 2 X22+...+ t"-2 Xn-2)'1-1,
nous devons pareillement regarder comme connue toute fonction
rationnelle des racines XA, invariable par les substitutions de la
forme Xk, Xk+,. Cela nous place dans les conditions du lemme 1;
ainsi nous pouvons former une fonction? telle qu'on ait generalement
Xk+i = (P(X/,).
D'ailleurs, les coefficients de cette fonction s'exprimeront rationnellement par les quantites connues et la racine xa; de sorte qu'en
inettant cette racine en evidence nous aurons
Xk+l = y(X/,, xa) ou Xpk+t,+a= (Xpk-+a, Xa).
Or on peut prendre pok= 6, etant un entier arbitraire, mais essentiellement different de zero; il vient ainsi
xpg,6+a-= (xc+-a, xa).
Cette equation exprime precisement la relation que nous nous
proposions d'etablir; elle montre tres facilement comment toutes
les racines s'expriment de proche en proche, au moyen des deux