Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR UN THEOREME DE GALOIS. 481
car la (n -i)im" puissance de la fonction lineaire
x1 -I -,p- X2 + 4-...4 XpL —2 xpn-2
ne change pas quand on multiplie celte fonction par ),; or cela.
revient a multiplier les indices des racines par p, ce qui ne change
pas non plus le second membre p(x0). Mais les autres equations
du systeme ne se comportent plus de meme. Dans l'une quelconque
d'entre elles
(xl+,-+- Xxp+a -+- 2 Xp2+aC...+ — x-2xp" -2.+a)L-~ =?(x)),
faisons a- p(mod. n), ce qui est possible, puisque a ne recoit
plus la valeur zero; il viendra
(I) (Xl+p -4" Xp+p- 2Xp...-+ - )-2Xp2+p... +p)n-l — = -2(Xp;,),
et, en multipliant les indices par p,
(2) (Xp+p-+1 - X p2+pi+i-4- 2 Xp3+p+1 +.. -. —k-2 Xpl-.-+p-L+,)nI —l- _ (Xp+i).
Or la (n - I)ieme puissance de la fonction lineaire
XZp-+p+, - ZXpa+p:+ -I-. -.. - L- ix p-i_+pl+li
ne change pas quand on multiplie cette fonction par A; au lieu de
l'equation (2), on peut donc ecrire la suivante:
(xpn-1,+pi+, - )xp+pl ---+- +2 ~p +p+ +-..... --- Xn-2 Xpn-2-p1+i)n-1 = ~p(Xpvl+).
Or, en remarquant que p'-' - (mod, n), on reconnait que celle-ci
se deduit de l'equation (I) par le changement de. en [ +- i.
11 suit de la que la substitution xa, xpk ne fait que permuter
circulairement nos equations, rangees, a partir de la deuxieme,
suivant l'ordre des valetrs croissantes de p. En les resolvant par
rapport aux coefficients de c, on sera conduit a des fonctions
rationnelles des racines, invariables par les substitutions x,, x+1
et Xh, Xpa; de sorte que ces coefficients s'exprineront bien rationnellement, comme nous l'avons annonce. Notre lemme est done
demontre, et l'on en deduit le suivant:
LEMME III. - Si une equation de degre premier est resoluble algebriquement, I'equation de degre moindre d'une
unite, qu'on forme en divisant son premier membre par un de
H. -III. 3i