Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

480 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
et, si l'on pose
F(x) xl F(x) x F(x) xo
T(X) - 4o F 'X0 -+.-'. ' -
x -X o F'(xo) x —xi F'(x1) — x,,_1 F'(x,,-l)
il est evident que c?(x) sera une fonction entiere du degre n -
en x et que ses coefficients seront des fonctions des racines invariables par les substitutions de la forme xk, x,+,; on voit aussi
immediatement qu'on a
9(Xo) = X,?(Xi)= X2,...,
ce qui demontre la proposition enoncee.
LEMME II. - Si une equation irreductible de degre premier n
est telle que toutes les fonctions des racines invariables par
les substitutions de la forme xk, Xk+,, et de la forme x,, xpk,
r designant une racine primitive de n, soient rationnellement
connues, on pourra determiner rationnellement une fonction
entiere de p(x) de degre' n - i telle que l'on ait
(Xi + - XP X2 Xp 4-... -4- X1-2 Xpn~- )-1 = CD (o),
(x2 -4 - X 2p2+ l + Xp+l- xp-+ 4-... -2Xp,-_-241I )n'-1 = (-(xi),
(XI. -+ X- p+n-t 2 X-I -.. + Xn-2 Xpn —,,n-1 )n-1 = p (X,-+l ),
les indices etant pris toujours suivant le module n et ) designant une racine de l'equation binome ),n- I i.
Pour demontrer cette proposition, nous ferons voir que le
systeme des.equations lineaires ainsi posees entre les coefficients
indetermines de la fonction? n'est pas altere lorsqu'a la place
d'une racine quelconque x, on met xk+l et aussi quand on remplace xk par xpk.
Le premier point est evident, puisque chaque equation se
deduit de la precedente en ajoutant une unite aux indices des
racines, et qu'en operant de la sorLe sur la derniere on reproduit
la premiere.
Le second point se verifie aussi immediatement par rapport a
l'equation
(XcI- p- p 2 Xp2.. + )-2 xpn-2),-1 = )c (X o),