Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR UN THEOREME DE GALOIS
RELATIF AUX
EQUATIONS SOLUBLES PAR RADICAUX (1).
J.-A. SERRET, Algebre superieure, t. II, 5e edition, p. 677-680.
Etant donnees deux quelconques des racines d'une equation
irreductible de degre premier, soluble pal radicaux, les autres
s'en deduisent ration nellement.
LEMME I. - Soient
F(x) =
une equation irreductible de degre quelconque n, et
Xo, Xl, 2.. Xn-1
ses n racines. Si toutes les fonctions des racines invariables
par les substitutions de laforme xk, Xk+ ou (k ) (les indices
etant pris comme fait Galois, suivant le module n) sont rationnellement connues, on pourra determniner rationnellement une
fonction entiere p(x) du degre n --, telle qu'on ait
X ( =?(Xo), 2 = C(X ),.-, x = (-(xI),...2, (x-).
On a, en effet,
F(x) = (x -xo)( ).. (x -. -i, ),

(1) Cette Note a ete publi6e seulement dans l'Algebre superieure de J.-A.
Serret, qui s'exprime ainsi (loc. cit., p. 677): ~ II ne sera pas inutile de presenter ici une analyse remarquable que M. Hermite m'a communiquee, et qui a
pour objet la ddmonstration de ce theor6me de Galois. i E. P.