Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUIt L'EQUATION DE LAMEI, 477
tion qui est donnee en prenant pour Z le polynome F(t), correspond une valeur entierement determinee de N. Qu'on attribue
en effet a la variable t pour valeur particuliere une racine de
I'equation y = o, nous aurons en meme temps z 0o, z' —=y,,
done N ' A-(yy, )2. Or en attribuant cette meme valeur a t, dans
l'equation
dyl dy2 C
dt2 dt t A
vous voyez qu'on en conclut C= -/Ayy^2; nous parvenons par
suite a cette expression C VN, et tout se trouve par consequent
determine dans la formule (3) qui donne ainsi la solution complete
de l'equation de Lame.
Vous reconnaitrez maintenant sans peine qu'en posant N= o
on a les valeurs particulieres de h auxquelles correspondent les
solutions qui, a l'egard de la variable x, sont des fonctions doublement periodiques, mais en laissant de c6te ce point, je vous indiquerai une derniere remarque. L'equation (4) montre qu'en supposant N different de zero, il est impossible d'avoir a la fois
F(t)- o et F'(t) =o, de sorte que la premiere equation n'a que
des racines simples. Soit t -= l'une quelconque de ces racines,
et faisons
F (t) F1' () (t — T)'
Si nous designons par T la valeur de A pour t - z, de sorte que
l'equation (4) donne
TF'2() = N,
on en conclura
_N y'N _ T
F(t) F'T) (t-) ~ t —
et par consequent
Ft(t) N T 1 /T
F(t) F( t- A(t -) -
Cette formule conduit de ]a maniere la plus facile a l'expression
de l'integrale qui figure en exponentielle dans l'equation (3).