Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

l'equation (2) donne
2AZP+3 -- (2p + 3) A'zp-+2+ P(P - 2)B zP+ 2
-t [2p(p - )(p -- 2) -- 9P(P - )- 6p — p (2+- ) (n2 -- n)]k2p = o;
or on peut mettre le coefficient de zP, sous la forme
(2p - I) (p - n)(p +- n + );
il s'annule donc en faisant p = n, et en adoptant cette valeur,
l'equation est satisfaite si l'on pose zP= const. L'equation (2) par
consequent admet pour solution un polynome entier en t de
degre n, z = F(t), et les conclusions auxquelles vous etes parvenu
pour n = i s'etendent d'elles-memes au cas ou n est quelconque.
En effet, deux solutions y et Y2 de l'equation (i) sont liees par
la relation
ddy1 dy C
-2 dt Ydt --
ou C est une constante, et en y joignant la condition
d(y..r) = dy d = F'
dt dt dt
on en deduira
dyl =1 [F'(t) + _ |, YC dy, (
et par suite
I dyl_ I r F'(t) C 1 Idy2 F'(t)
y, dt 2 t (t) V F(t) y2 dt 2 F(t) VF(t)
d'oii enfin
~ rFF ' d ct i 1 ]- fFF, C d
(3) y =G e ' A F (t G't e Ft F(t )
en designant par G et G' deux constantes arbitraires.
Voici maintenant, a l'egard de la constante C, une remarque
essentielle. On tire aisement de l'equation (2) la suivante
(4) A(2zz"- z'2)-r- A'zz'= 2BZ2 -N,
et ce resultat se verifie sur-le-champ en diffdrentiant et divisant
les deux membres par z. Mais a la solution speciale de cette equa