Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'INTEGRALE --— 3. 473
I-
J'observe a cet effet qu'on a d'abord
I 0T e (2 -x)- - x
Fp(a) - loga --- i e (-x) - eax d
a a 2 x i - ex)
puis
I e(2 - — 2-x
F"(a)= —+ - (-) — - ex dx.
a i a2 2 J_ a I - e_"
Or on obtient un developpement en serie de cette quantite, en
remplacant L, dans l'integrale, par la progression indefinie
I — ex
i + ex -... + e'2 4-...; les inlegrales de chaque terme resultent
de la formule suivante
r0 T! (a - - ni -
(- fl)Z (a --- —-,
-+a - -n a-t- n -- i
et 'on en conclut aisement cette expression
I I T
a2 (a -+ ) (a -+ - 2) +
qui est precisementDalogr(a). Les deux fonctions F(a) et log(a)
ne pourront ainsi diff6rer que par un binome du premier degre
en a, et comme elles sont egales pour toutes les valeurs entieres
de a, on voit, comme nous avions pour but de l'etablir, qu'elles
sont identiques.
La decouverte de l'equation que nous venons de demontrer est
due a Binet qui I'a donnee dans son beau Memoire intitule Sur
les integrales definies Eule'iennes et leur application a la
theorie des suites, ainsi qu'a I'evaluation des fonctions de
grands nombres (Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XVI,
p. 123). Elle a ete ensuite le sujet des recherches de Cauchy
qui y a consacre une partie essentielle d'un travail d'une grande
importance, publie dans le Tome II des Nouveaux Exercices
d'Analyse et de Physique mathematique, p. 384, sous ce titre:
Memoire sur la theorie des integrales definies singulieres,
appliquee generalement a la determination des integrales
definies, et en particulier a l' e'aluation des integiales Euleriennes. L'analyse un peu longue du grand geometre peut etre