Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

472 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
d'OU
log[i.2.3...(n- i)]
I/ I f r~ eX(2 -- x) -- — x d,
- - )Iogn - n log v/ 2 ~ ( (-e) x dx
et nous allons en exposer les consequences.
7. En premier lieu nous avons une demonstration rigoureuse
de la formule de Laplace par cette remarque que le maximum de
la fonct-on ex(2- x) ---.X
la fonction e( - x~ - ex) a lieu pour x - o, et a par consequent
pour valeur 6 Afin de considerer des valeurs positives de la variable
mettons en effet - x au lieu de x, ce qui n'en change pas la valeur,
ce nous verifierons sur le champ l'inegalitL
2 - - -(2- x)eX< x2(ex- i),
par le developpement en serie, car on trouve pour le premier
membre
X3 n
2 + - (2 - x)ex =- - -... — + x2
' / 6 1.2... n, —'2
tandis que le coefficient de xn+ dans le second es --- — qui est
I dans le second1~~.e.... n.
evidemment superieur a ~ II suit de 1l qu'on peut
1.2.3...a n -F- 2
ecrire, en designant par e un nombre < i,
0
f~ ex(') - x') - - - x - E r)
C X) - - ----— elnx dx - elx-dx -
J 6 2(I - ex) x dx n
et qcu'on a par consequent
log r(n)= ( - ) log n-n -- log 2 -+1
En second lieu j'etablirai que si l'on remplace dans l'egalite
o ig\ - r~ e( x(2 -- )-2 — X
1ogP(n)n- log n- - n log n' n lo /^ 2 7 enx dx,
2J c x_( -;ex)
le nombre entier n par une quantite quelconque a, et qu'on
pose
iF(a)= (a —) - a log- I f0 ex (2x) - 2Xad -x -
F(a)= - =a- logoa - a 4+- log V24-^.. x2 -- ex)

on aura F(a)- logr(a) quel que soit a.