Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

Lza — Z-a
SUR L'INTEGRALE dz. 469
I — z
il est clair que le second membre donnera lieu a une serie convergente quand n sera superieur en valeur absolue a la plus grande
des quantites a, b, etc.
Les remarques precedentes s'appliquent aux integrales R,, R,.
Et d'abord, en employant la relation donnee en commencant
eax e( —a)x x2 X4
= I- 2a — 2 S(a)C - 2 S(a)4 -..,
I- ex I.'2 1.2.3.4
on obtient pour Si cette expression
I — 2a 2 S(a)2 2 S(a) 2 S(a)2i
2i+1 3 - n - ' ' 2/- tn2+1
eax e(l —a)x
qui doit finir par devenir divergente, la fraction e- e(r
n'etant pas en general synectique. Mais si I'on suppose que a soit
un nombre entier, elle change de nature; elle prend, suivant qu'il
est negatif ou positif, l'une ou l'autre de ces deux formes
[I -- 2x- e-ix- x-{-t. - e- 2ax I e(n+a)x,
- [ +- e2x — eiX —...- e2a-2)x] e(t-a)x;
et alors la serie cesse d'etre divergente en ayant une somme finie,
lorsque n est en valeur absolue plus grand que a.
La theorie des integrales Euleriennes, a laquelle j'arrive maintenant, va nous donner de nouvelles et importantes applications des
memes considerations.
6. Nous rattacherons cette theorie a l'etude de l'integrale
1.a- - Z —
r 1a-1z-a
en developpant une idee jetee par Cauchy dans son Memoire sur
les integrales definies prises entre des limites imaginaires (p. 45),
et dont le grand geometre se borne a tirer, lorsque n est un grand
nombre, la formule de Laplace
rn
F( n) +
r( n)

mais qui a une portee plus etendue, comme on va voir.