Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES IERMITE.

ou, pour abreger l'ecriture ('),
F1(x) - A Al A,
F(x) ~~x-a -(x-a2 (x _-a}"+1
On en deduit immlndiatement cette expression de l'integrale de
toute fonction rationnelle
F, (x) Al~~iog(~n) —~ L~7 - n~z n' A,
f F,(X)dx A log(x-a)- -aA)
ou l'on voit figurer une partie transcendante et une partie algebrique qui donnent lieu aux remarques suivantes.
1. Nous observerons d'abord qu'en supposant reels les polynomes F(x) et F, (x), les racines du denominateur peuvent etre
imaginaires, de sorte qu'il est necessaire de mettre le resultat
obtenu sons une forme explicitement reelle. Or, on sait que les
racines imaginaires seront conjuguees deux a deux; de plus,
qu'elles seront de meme ordre de multiplicite, el qu'en les designant par a et b les numerateurs des fractions simples correspondantes
Ai Bi
(x-a)i+~' (X-b'i+'
seront respectivement exprimes de la meme maniere en fonction
rationnelle de a et b. Ce seront done aussi des quantites imaginaires conjuguees, et les termes qui en resultent dans la partie
algebrique de l'integrale, a savoir
i Ai I Bi
i (x - a)i' i ( - b)i
donnent, par les reductions ordinaires, une somme reelle. Mais,
dans la partie transcendante, il sera necessaire, pour effectuer ceLte
reduction, d'employer l'expression des logarithmes des quantites
imaginaires
log(x- P/-) =log[(-)2+ P2] /- arc tang- X --
CX~(a CL)2 - P 32] i /-I are tang ~,L
lo-(~~~~~~~~~~~~~

(') On supposera que n soit le plus grand des nombres a, 3,..., X, et qu'on
attribue des valeurs nulles a ceux des nurnerateurs A,,, B,,,..., L, dont les indices
surpasseraient respectivement a, p,..., A.