Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

Z za-1 Z-a
SUR L'INTEGRALE - dz. 467,-Z
pour a negatif, et
[e -] e d2 (I ei- )x clx
J__ ^ (e- 4 _)e(n-2)x
quand a est positif, rn designant un nombre < i. Suivant ces deux
cas, nous parvenons donc aux expressions suivantes que je me suis
propose d'obtenir:
--
nodR', -q(-2a)2 - (4 2 + J)
et
()2 4 2 )
4(n- ) 4n
Elles donnent la formule
/ a2 \ / a,2\ / a2 eRI
sina = —ca --- - i- * —
- i / — 4 - /l a i'
l-4 —
n
et par consequent une demonstration rigoureuse du developpement du sinus en produit d'un nombre infini de facteurs.
5. Les integrales R,1 et R' sont des cas particuliers de cette
expression plus generale
(x) elix dx,
_ o
qui offre des circonstances sur lesquelles l'attention a ete appelee
pour la premiere fois par l'etude des integrales Euleriennes. Nous
allons voir qu'elle donne lieu a un developpement en serie procedant suivant les puissances decroissantes de n, mais que cette serie
est necessairement divergente pour toute valeur de cette quantite,
si grande qu'on la suppose. 11 en resulte qu'on ne peut en employer
que les premiers termes, avec l'obligation d'avoir une limite superieure du reste permettant d'apprecier pour quel nombre de lermes
il est le plus petit possible. Admettons que pour x infiniment
grand et negatif, les quantites,I(x) eux,, '(x),x,...,, i-i(X) enx

s'evanouissent; ce developpement limite a un nombre determine