Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

ou encore
S, -+- R= — i.
Ce resultat leve entierement, comme on voit, la difficulte d'analyse
offerte par le developpement en serie de la cotangente.
4. L'expression de sin ai en produit de facteurs lineaires est
immediatement donnee en integrant par rapport a a les deux
membres de l'equation
I 2a 2a I
7tcot a r = -- -- —...- - 2- --- - R,;
a a2 - 1 a2- n2 n +- a
on obtient ainsi
sin a7 / a20 / a2\
log si ga log I- =logog I +log - +...
+'lo g I — log I R
TT \ I n + 4Rn
+log(l- 2) — log(i-)+Rn,
si l'on pose
0 eax — e(I-a)x- ex- I
R, - -- e_(a)x - e- I enx dx.
-t x(i - ex)
Peut-etre n'est-il pas inutile de donner encore pour R' une
limite superieure montant que cette quantite est nulle en supposant n infini, quelle que soit la valeur reelle ou imaginaire
a = a -+ i.
Posons h cet eflet, pour abreger,
eax -4- e(l -a)x ex-_ I
x( - ex)
je remarque qu'on peut ecrire en ajoutant et retranchant 2e2 au
numerateur
L |(t-)xg2 [ - 2
fa CX a) 1 — [e1-x
/v^ _ I6 -e 2 2
x(1 —ex) X([ -ex)
On en deduit par une proposition connue,
(ax e) (I-) +1 (e-1 -
)2 2
modf(x) < mod eg e - mod -x