Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

1 Za-1 - Z-a
SUR I'INTEGRALE - dz. 463
et changeons a en ia, on en conclura
1 2a 2a i
iS7 = -+- a +...- 4
a a2 -t- ' a"2 —+ n-2 n - ia
Soit maintenant, en supposant a positif =I dx, designons aussi
a
par X la limite du rapport - lorsqu'on fait croltre n et a indefiniment, de sorte qu'on ait n = ndx ),; nous pourrons ecrire, en
I I
negligeant - et
a n -- ia
2 dx '). dx 2 dx
-+- dx2 I 4-(2 d)2 1 '* - ( dl+ d)2
De cette expression resulte immediatement, comme on voit, la
valeur cherchee
), 2 dx
iS= ---- = 2 arc tangX
qui depend de la quantite entierement arbitraire A.
Ce point etabli, cherchons ce que devient l'integrale representant le reste,
- ea x e(1-a)x
Rn -=_ -x enx dx.
Pour cela je remplace a par ia, n par ),a, ce qui donne d'abord
O eiax_ e(l-ia)x
Rn. I.- ex ax dx,
t
puis en changeani de variable et posant x - -
i) t
R,2/ e eo et ---dt
a\i-e)e
Maintenant on obtient pour a infini la valeur. sint i
R, =-z i f -in eXt dt = - i arc tang,
- t.
et I'on en tire la relation
i(S — R,) =2 (arc tangX + arc tang;) =-
\ A/~~~~