Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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COEUVRES D)E CHARLES HERMITE.

Z - Z20a
Soit enfin a>i, nous raisonnerons sur; et la condiI - z
tion
z - z2
---- < 2-I
i - <
I-Z
se verifiera absolument de meme. II est done ainsi demontre que le
maximum du module des deux expressions introduites, en supposant successivement a negatif et a positif, a pour valeur
(I - 2-ax)2 -+4P'
de sorte qu'on a dans la premiere hypothese
-mood g- _ V/(I -2 _) - 4 2
nm od Ri, =
n -+- a
et dans la seconde
modR,- s /(I -2 )2+- 4 2
n - ac
Ces expressions, du reste, dans le developpement en serie de
fractions simples de la cotangente, etablissent en toute rigueur la
convergence de cette serie; elles montrent en effet que pour des
valeurs aussi grandes qu'on le veut de a et 3, mais finies cependant,
R,, est nul si l'on suppose n infini. Mais on voit en meme temps
qu'on n'est point autorise a faire usage de l'expression
1 2a - 2a
a a2- a2 -4
pour des valeurs infinies de l'argument; dans le domaine de ces
valeurs, la definition de cotar par la serie offre en effet une lacune
que la consideration du reste permet seule de combler, comme
nous allons le faire voir.
3. Je dis en premier lieu que la limite de S,, est indeterminee
lorsqu'apres avoir remplace a par ia on suppose a la fois n eL a
infinis. Revenons en effet a l'expression
I 20a 2a
Sn- - -k - -+(... —1 -a a2 — I a9 —( -- I)2 n - a
I 2(a 2a I
a a2 -- I a2- n2 n -+- a