Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LINEGRALE - dz. 457
I - z
de sorte que l'integrale sera ramenee a la forme
1. za-1 z ' 2
j - -----, —dz.
O 2
I -4- Z
Cela etant, il convient d'y remplacer z par z2; elle devient ainsi
r;2a —1- Z -2a
r2 1 ~ --- —-- dz.
I I — Z
Or, il est visible que les deux quantites
g0 z2a-i r z-2a
i -- dz et - dz
JO I — I -o l
sont egales: la premiere se ramenant a la seconde par le changelI ~~~a
ment de z en -* Si l'on remplace a par -, nous obtenons done bien
z 2
la relation
J ~~Za-I- T
/I - dz =
J i zd sina7 -D'apres cela, je me bornerai pour abreger a considerer l'integrale
definie, qui represente la cotangente, et j'y introduirai encore
les limites zero et l'unite, au lieu de zero et l'infini, En faisant, en
effet
r1 za-I _ Z-a r~Z-1 _ -a
-I - z- ~~ --- —- dZ- I- dCZ =- 27 cot ar,
et remarquant, comme tout a l'heure, que la seconde integrale
se ramene a la premiere par le changement de z en nous
aurons
r1 Za-l _ Z —
jjI --- dz =- cot a.
osns en I - z
Posons, en effet, z - e, et l'on se trouve amene a cette nouvelle
forme
0 eax- e(l-a)x
_ —,dx - = cof ea,
J _o i -

qui suffit a faire prevoir les rapports avec la theorie des integrales