Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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pour lever une difficulte singuliere qu'elle presente, lorsque, en
remplacant a par ia, on suppose a infiniment grand. La limite du
premier membre est, en effet, - ix on - ii, suivant que a croit
positivement ou negativement, et depuis longtemps Eisenstein a
fait la remarque que la serie ne conduit point a cette limite et
donne lieu ainsi a un paradoxe que je me propose d'expliquer.
Relativement aux integrales euleriennes, j'aurai surtout pour but,
en suivant une indication rapidement donnee par Cauchy dans
son Memoire sur les integrales prises entre des limites imaginaires (p. 45), d'obtenir la relation
logr(a) = a — ) loga - a -- log
r (2 - 1) 2 - '/
_ ex( -x) ---eaxdx,
demontree par le grand Geometre dans les Nouepeaux Exercices
d'Analyse et de Physique inathematique (t. II, p. 386). Ces
resultats se rapportant aux fonctions circulaires et aux integrales
euleriennes, vont s'offrir comme les consequences successives d'une
meme analyse, qui mettra ainsi en evidence la liaison et l'enchainement des theories des deux genres de fonction.
1. Je commencerai par faire voir que des relalions
r 0 za-1 - 7r Za-1 _-a
j j — d =.-, - dz = d7T coZtadc,
JO i-+z sinan J I -z
la premi6re est une consequence de la seconde, et en decoule par
suite de l'egalite,2
-sin 2 = cot a -i- tanga
sinaa=
Ayant, en effet,
1 1
--- -- - -- a
/ a —1_ z-a _4 Z 2 r I 1
JO I --- — 2dz — dz= 2 cotan 4t- cot -a Hnous ecrirons
Za-1 — I -a —_a. ^-4= 2 _ I z-l+-(
t ' Z- I 2 Za — 2 2