Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

OBSERVATIONS ALGEBRIQUES SUR LES COURBES PLANES. 445
de t, dans le denominateur e, par exemple; et ainsi le nombre des
arbitraires se reduit a
2 ( mi -+ I) -4nz - 3 n -.
Pour p, les formules
o- = - A BZ(t - t) AB2Z(t- t2) +...+ ABZ(t - tm)
q = q0-+ BaZ(t- tj)-t- B2Z(t- t2)+n...-+- BZ(t -tin)
mettent en evidence, d'une parties residus, A1, A2,..., B B, B,...,
c'est-a-dire 2(m - i) constantes, a cause des conditions SA- o,
SB = o, puis les quantits t,, t2,..., t,, qu'il faut reduire a m - I
arbitraires, puisqu'on peut remplacer t, par t +- t\, par exemple.
Si I'on ajoute a ces constantes le module ainsi que 0o et o0, on
trouve bien en definitive le nombre 3m.
Apres avoir appele votre attention sur ce point, permettez-moi
de vous dire de quelle maniere j'exprime qu'une courbe
/f(x,y) o
admet 3 points doubles. Je considere a cet effet les relations
u _ f(xy), df = 1 df= 0,
df d
et j'observe que le resultat de l'dlimination de x et y sera une
equation en u, 11(u) - o dont les racines representeront les
diverses valeurs que prend f(x, y), quand on y remplace x et y,
eef df
par les solutions des equations f O' -o = o. Par consequent ]e
nombre des points doubles est donne par le nombre des racines u
qui sont egales a zero. Ceci pose, nommons a, b, c,..., k les
coefficients de f(.x,y) et supposons que le terme independant des
variables soit k. II est evident que l'equation I(u) = o se formera
au moyen du discriminant relatif a l'equation proposee, en y remplacant k par k - u, de sorte qu'en representant ce discriminant
par II(a, b, c,..., k), on aura
I(u) = n(a, b, c,..., k — u).

Les conditions pour que la courbe f(x,y) = o possede 8 points