Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LA FORMULE D INTERPOLATION DE LAGRANGE. 44 L
l'integrale curviligne s'exprime comme il suit au moyen d'une integrale multiple d'ordre n. On a
'Jt7: ff(i) d = dt, fdtn-I dnl —... f n(u) dt
2in jr fe ~ >nc~> ~ Iin l
c rr ' ffl(u) l~
et nous allons aisement le demontrer.
I1 vient d'abord en effet
2n f~(u) dt-.lf'~-L[(ao — a2) t2- (a2- a3)t3- +...- a, ]
o- ao- a
fn-1 [(a, - a2)t2 - (a- a,)t3+-...+t a,,]
al- ao
puis successivement
fn'-2[(a - a3)t3 - (a3 - a4)t..4. — an]
f" -2[(a2 - a3)t3 -4- (a3 - a4)t4 f-.. an]
(a2 - ao) (a2- a )
dt3f dt2 fn(u)dt = f-3[(a - a)t — (a 3 a4)t -(-... a- )]an
(a - o - -l) (a -2)( al3)
fo/'-_3 [(a - a4) t4 -- (a4 - aS)t --.. - an]
(a — ao) (al- a2) (a- a3)
f" -3 [(a3 - a4) t4 -- (a4 - as)t -+-... — an]
(a, — ao) (a2t- a,) (a2 — a3)
fn-3 [(a -- a, ) t4 -4- (a; - a. ) ts -t-... a- an]
4 -(a3- ao ) (a3-aal) (at3 - a2)
en faisant usage des identites elementaires:
I I - I
(ao- ai)(ao-a2) (a -- ao)(a, -a2) (a2- ao)( a2-a) -t)
I i
(ao - al) (ao - a2) (ao- a,3) (al -- ao) (a - a2) ( a - a3 )
I I
-h ------ - ----------- -1t --- —--------- -0.
- (a2-ao) (a2- at) (a2- a3) (a3-ao) (a3-a2) (a3 —a 1)
En dernier lieu, et sans qu'il soit besoin d'entrer dans des details
que la simplicite des calculs rend inutiles, on obtient pour l'inte