Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

puis en supposant a- = a,
b
/ f(x)dx= - (b-a) [ f(a)+- f(b)
+- (b- a)2[f'(a) —f'(b)] - (b- a)5fv().
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Paris, 5 juillet 1877.
POST-SCRIPTUM.
J'ai reflechi de nouveau a ces deux origines de la serie de
Taylor, suivant qu'on la deduit, au point de vue elementaire, de
l'integrale definie
J" ( x - u)a.f+l ( u U ) du,
ou bien sous un point de vue analytique plus etendu, de l'integrale curviligne
I /s (x-a)+'1.f(z)
-iJs (x —z) (z - a)+ '
et j'ai pense qu'il devait etre possible pareillement d'arriver au
polynome d'inlerpolation par une autre voie qui n'exigerait pas
l'emploi des variables imaginaires et des integrales curvilignes.
C'est en effet ce qui a lieu, mais il faut recourir comme vous allez
le voir a la consideration des integrales multiples.
En posant
IH(z) = (z - ao) (z - al)... (z: — a,)
j'envisage l'integrale
2',.rf-(Z) dz,
oul la fonctionf(z) est supposee continue a l'interieur de l'aire s,
qui comprend tons les points ayant pour affixes ao, a,,..., a,.
Si l'on designe par f/n(z) la derivee d'ordre n de f(z) et qu'on
fasse
It =-(ao —a)t t- (al —a2)t2-.. (ao-i — an)tn -+- a,,,