Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE.

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on aura de meme
0(b) - -(a -b)f (b)_ (-) (a-b)2f'(b)
I.'2...m - m(,i —i) 1.2
P(F - I)(P- 2) (a- b))3f"(b)
m(m - I) (/ - 2) 1.2.3
et nous sommes ramenes a la formule precedemment obtenue.
Mais on trouve, par cette methode, que la difference entre l'inte1,
grale f (xp) dx et sa valeur approchee est la quantite
-(- ) f (x) )(x -a) (x b) dx,
o i le facteur (x - a)P(x - b) conserve toujours le meme signe
entre les limites de l'integration.
Ecrivant done
b b
I fm(x)(x —a)(x —b)20dx= fm(h)j - (x - a)(x - b)~ dx,
en designant par une quantite comprise entre a et b, on voit
que pour une valeur donnee de m, 1'approximation obtenue depend
du facteur
b
(x- a)P (x-b)2 dx,
ce qui conduit a determiner a et 3 par la condition qu'il soit le
plus petit possible. Or on trouve aisement que le minimum du
produit F(x) F(m - x) s'obtient en faisant x = -- Parmi les
diverses formules qui se rapportent a la meme valeur de m, c'est
done celle oi a -= 3, ou figure par consequent la derivee de l'ordre
le moins eleve de la fonction f(x), qui conduit en meme temps a
l'approximation la plus grande.
En particulier on trouvera, pour oa = - I,
f (x) d (b - a) [f(a) f(b (b f
~y f(x)ax = -(b —a)[f(a)+ f(b)] — -(6b-a)3 f"()