Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'EXTENSION DU THIEORIEME DE MA. STURM.

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comprendront dans leur intervalle un certain nombre des projections des points racines; nous les separerons encore en deux
groupes, suivant qu'elles se trouveront a droite ou a gauche de la
parallele a l'axe des y, x e=, et nous designerons par )n le nombre
des projections contenues dans le premier groupe et par t ' le
nombre des projections contenues dans le second.
Cela pose, il est clair qu'en passant de ro a h, a et d deviendront respectivement a +- t' et d- TG'; b et c en meme temps se
changeront en b + J, et c -;). Nous aurons done, d'une part,
V(, lo, ro) - V(, 'no, 1) = a - c - b - d,
et de l'autre
'(, n, So)- V(m,,), 1 )= a + c- 6 - d + (~'-:),
et, par suite,
r(0, o0 0 (, r) - 0)(, ',.~) -- e(4, ri, 0o) = -(.D - X').
I1 ne nous reste plus maintenant qu'a faire varier la quantite ';
or, en passant de o a s,.C 't s'augmentera du nombre des projections renfermees dans le rectangle ayant pour sommets
X= 0, X = =o, X = i, X= 1
Y = no, y - y- = o, y = i,
et MX diminuera du meme nombre. Designons par n ce nombre, il
representera evidemment combien se trouvent de points figurant
des couples de solution dans l'interieur du parallelepipede ayant
pour projection verticale le rectangle dont nous venons de parler
et termine par les plans z =-, z =,. Or, nous avons ' la fois
les relations
(o0, 'no, ~o) + (4-(o 1, 1)- (o, I1 )0, 1-) —( o, ~r, o) = 2( - — f '),
V(, oo), or))- (( 1, 1,,.')-V (b,,', o) = 2(X - 0')- 4n.
d'oi l'on conclu t
r (o, o r)O, + o)H ( 'il) + Q(0(, lo, 0 l) +- (b, + 1, 0o)1
( 0,, rlo, 1 )-V(0o,,, ro)-+(V1,,0, Clo)- (1,,,ll, 1)]
n- --
On aura un enonce plus simple si l'on convient de designer par
H. -III. 3