Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

pour former le coefficient du terme en h-', qui est la quantite
cherchee, nous parvenons ainsi a l'expression
a \ - I) ( b-a)2 f (a)
(a, b, ao, 6)-= (b-a)f(a)-+-.. — l
m i.2...m(m-i) 1.2
a(a-I)(2-2) (b —a)3f'(a)
m( n - ) (mn - 2) 1.2.3
dont la loi est manifeste.
On obtient d'une autre maniere cette formule, en partant de la
relation
f UV dx = O(x) -- ( —I) f VUmn dx,
ou j'ai fait
e(x) = UVm-1- U'Vn —2 + U"V-3 -....
Prenons en effet U =f(x), V = (x - a)P (x - b)01, avec la condition a +- = m, de sorte qu'on ait V"- 1.2... m. On en deduira
en integrant entre les limites x - a et x = b
b0(b) —o(a) + (_)m rb.
(d(x) =d +x) f.'i ()(x - a)f(x -- b)% dx,
et il est aise de calculer O(a) et O(b). 11 suffit en effet d'avoir les
derivees successives de V (x -a)P (x - b)a pour x a
et x b; or les premieres s'obtiennent en faisant x a -- h
et sont donnees par les coefficients de hP(a - b -+ h), les autres
resultant semblablement de l'expression ha (b-a -- h)P, et l'on
trouve ainsi
(a) - c(ac_ ( —) (a —b)2 f'(a)
1.=. ((a -b)f(a)2
1.2...m in m (n - I) 1.2
a(oa-J )( —2) (a —b)3.f"(a)
m(m - ) (n - 2) 1.2.3
Ecrivons cette quantite de la maniere suivante
=-(-a) (oa —f) (b —a)2.f'(a)
I.2,...m m ((b 1-a)f(a)
M.3.... in. in n?(m - i) I.a
a(_ - i)(a- 2) ( b-a)3f"(a)
m(m-l)(m —2) 1.2.3