Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

436 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
de sorte qu'on ait
F(x) =A -- B,
je montrerai d'abord que les integrales
b b
A = A dx, B= dx,
se deduisent immediatement l'une de l'autre. Ces quantites sont
en effet les coefficients de h, dans le developpement des expressions
f / ahd f /(a.+h- ) b(- a)x(-(x-b)P dx
ha (a-b h)P j xa-h
et
b) f, (b -- h) b (x-a)~ (x- b)P dx
y(b +h)dx= h(bah)ca x-b-h. )
hP (b -a 4- h)o~ x — b -h
Or ecrivons pour un moment
(f b, ) (a+ h) /r(x -a)~c(x — b) dx
(ha,,(a -b)ih) zPx -- a- '
et permutons a la fois, d'une part a et b, et de l'autre a et, ce
qui donnera
(b, a,)-.(b +- h);" (x-_a)(x -b)P dx
(b, a, 3 ) =X- — ( +-b)on voit que le second membre de cette egalite etant - B, on a
simplement
b
y F(x)dx-(a, b,,P)-(,a6,, ).
Cette remarque faite, posons m = a +- 3; la formule elementaire
(x - a)p-l(b - x)-1 dx = (b- a)P+-r (p) r(q)
J r(p+ q)
donne le developpement
fb (x —a)(b-x)Pdx
r(r( ( +-) (b a) r( -1) r(p -t"-( ) I)(b - +)nt t- m (b.i - a)
-F xr(m3~)() r(m)
r(m — )