Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 435
usage a l'egard du reste de la serie de Taylor,
R_ i s f(z)(x - a)
i_ t ( -z) (z-a) dz,
lorsqu'on veut etablir la convergence de cette serie pour des
valeurs imaginaires de la variable. J'ajouterai cette remarque que
la differentiation par rapport a a donne
dR _ a(x -a)-I r f(z)dz
da 217 Js (z - a)a+
de sorte que la formule
f() (a).2..* f f(z) dz
permet d'ecrire
dR (x — a)a) —l f(a (a)
da 12...a -
et l'on en conclut, R s'evanouissant pour a = x, laforme elementaire du reste
a (x- a)a-if / (a) da,= _.2....a
Apres avoir rattache a un meme point de vue la serie de Taylor
et la formule d'interpolation de Lagrange, qui s'obtiennent,
comme on voit, en posant
4(x) -= (x -a)a et 4(x) = (x -a) (x- b)..(x- ),
je vais considerer un nouveau cas et faire
c((x) = (x - a),(x -- b),.
Si l'expression des polynomes F(x) devient alors plus compliquee, l'integrale F(x) dx donne, pour la valeur approchee de la
b
quadrature J/f(x)dx, un resultat tres simple, auquel on para
vient comme il suit.
Nommons A et B les residus correspondant a z a et z = b
de la fonction.f(z) (x - a)a(x — b)
(x-z) =- a)-(z —b)>
(x - z)(.z-a)a(z, 6 - bt