Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES IIERMITE.

aura pour expression
r AXa-I AIXa-2, A-Xo
4'(X) 4(_ + ( ) "-,*+' " -,
t(x - a)af (x_ - a)x — a
ou encore
(x-b )P(x -c)Y... (x-l)x
X [AXa —1 + A Xa-2(x — a) +... -+ Aa-1Xo(x- a))a-1].
C'est done h l'egard de la variable x, un polynome entier de
degre a + - +... -- - I = - - -; il en est de meme des autres
residus de p (z), et par consequent leur somme que je designerai
par F(x) est bien un polynome entier de degre n - I, dans la
relation que nous venons d'obtenir
F(x) - f(x)=2 j ( —Z)() dz.
Observez maintenant que l'integrale du second membre, renfermant comme facteur, sous le signe d'integration, la fonction
q)(x), s'annule ainsi que ses derivees par rapport a x, jusqu'a
l'ordre a- i pour x = a jusqu'a l'ordre j - pour x - b, etc.
II est ainsi iminediatement mis en evidence que F(x) est le polynome cherche, toutes les conditions a remplir se trouvant en effet
satisfaites. Mais de plus, nous obtenons une expression de la difference entre la fonction et le polynome d'interpolation, sous une
forme permettant de reconnaitre qu'elle diminue sans limite,
lorsque le nombre des quantites a, b,...,, ou bien les exposants
o, B,..., ) vont en augmentant. Effectivement, si nous admettons
que tous les cercles passant par le point dont l'affixe est x et
ayant pour centres les n points a, b,..., soient contenus a
l'interieur de s, les rayons de ces cerclcs, c'est-a-dire les modules
de x- a, x - b,..., seront respectivement inferieurs aux
modules des quantites z-a, z-b,..., z-1, lorsque la variable z
decrit le contour de l'aire.
Le module du facteur!-~- entrant dans l'integrale curviligne
peut ainsi devenir moindre que toute quantite donnee, lorsqu'on
augmente le degre du polynome F(x).
Cette consideration est d'ailleurs exactement celle dont on fait