Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

EXTRAIT D'UNE LETTRE DE M. CH. HERMITE A M. BORCHARDT

SUR LA
FORMULE D'lNTERPOLATION DE LAGIRANGE.
Journal de Crelle, t. 84, I878, p. 70.
Je me suis propose de trouver un polynome entier F(x) de
degre n - I, satisfaisant aux conditions suivantes:
F(a) =f(a), F'(a) = f'(a),..., F-'1 (a) _ f a- (a),
F(b) =f(b), F'(b) = f'(b),..., Fr-i(b) -f -i(b ),...........................................
F(l) =f(l), F'(l) =f'(),.... Fx-1(1) =fx-(),
ou f(x) est une fonction donnee. En supposant
a + p +...-4- X = n,
la question comme on voit est determinee et conduira a une
generalisation de la formule de Lagrange sur laquelle je presenterai quelques remarques. Elle se resout d'abord facilement comme
il suit. Je considere une aire s, comprenant d'une part, a, b,...
1, et de l'autre la quantite x; je suppose qu'a son interieur la fonctionf(x) soit uniforme et n'ait aucun pole; cela etant je vais etablir
la relation
F(x)-f (x)= _ r( f /(z) (x - a) (x - b)'... ( -I)
s (x- z) (z - a)(z — b)P... (z - I)
l'integrale du second membre se rapportant au contour de s, et en
meme temps donner l'expression du polynome cherche F(x).