Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

430 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
Elle donne parmi divers resultats Ia formule de Maclaurin que j'ai
eue principalement en vue, et qui s'obtient, comme on va le voir,
en egalant les termes en 2n-1. Posons en effet V =f(xo - hx),
d'ou
V4'= hk/k(Xo+ h h), V ~= hlcfk(Vxo);
le coefficient de )\2-1, dans la quantie - cot- A( ), s'obtient an
moyen de la serie
I I I_ B.X B2 )3 B3Xs
- cot - x -
2 2 X (2) (4) (6)
sous la forme suivante:
Blh B.,h
-^ [f1(xO-/)-f'(xo)]+- (-I]-...
[ ) f'(xo ()] (O h) -f. (Xo)] ( -
B,,_, h2,i-3
(-2 f - 2)
D'ailleurs, dans,p(o), le coefficient du meme terme est simplement
V +- Vo-f(xo+ h) -+/f(xo);
dans la fonction
(3)
U = X S(), (-S(X)3+...,
(__ )n-1
son expression est (n- I) S(x)2,11-; on est par consequent amene
a l'egalite
f (xo + hx) dx= [f(xo+ h) + f(xo)] - [f'(xo+ h) -f (xo)]
+ -- [f"' (xo + )-/ "'(xo)]+...
( ( l B 2))
h2n - 1
-( n-I) f/2n (Xo + h) S(x)2-l dx
qui se ramnne a la forme habituelle, en remplacant dans le premier
qul se ro+ml
membre l'integrale f(xo +- hx) dx par f f(x)dx.
La proposition de M. Malmsten a l'egard de S(x)2,_, permet