Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

428

OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

dents de s'annuler pour x - o, x = i, et de n'admettre dans
l'intervalle qu'un seul maximum correspondant a x - II en est
2
done aussi de meme de tous les coefficients des puissances de )
dans le developpement de l'exponentielle, et en exceptant seulement S(x)o, nous avons cette seconde proposition que les poly( — x)"'~ S ( x),
nomes 2 - I sont positifs de x o a x= avec un seul
maximum dans l'intervalle pour x --
2
La facilite avec laquelle les proprietes des polynomes S(x),,
resultent de la forme trigonometrique de leurs fonctions generatrices conduit a employer ces memes fonctions pour etablir la
formule de Maclaurin. A cet effet je partirai de la formule elementaire
fU2 V dx = U211- V- U2l-2V'+...-UV2-l-4-f UV2l dx,
oiu U et V sont deux fonctions quelconques dela variable x, dont
les derivees d'ordre k sont designees par Uk et V*. Posons pour
abreger
>(X) = U2-l-IV -- U2n-3V" +...- U'V2n-2,
lF(x) =U2n-2V'+ U2l-4V"'+...+ U V2n-1,
ce qui donnera
fU2nV dx = 4(x)- V(x) - - fUV21 dx;
en laissant arbitraire la fonction V, je prendrai
sin1kx sini- (x - _) _3
U = 1 ---sin.2 2 = S(X) S- S(X)3+...
sin-), 1.2.3
et il sera facile d'obtenir les expressions de >( (x) et F (x), si l'on
cos -COS — COS-s(X —) eet
met U sous la forme -- * Ayanl en effet
asin 2v
U2 =(-I)AX2/ COsX(X —1)
2 sinXA
sill1 ii~zz ---
2 sin A
U2/c-2 - (_ I)lJI2J,1 Sin. ( 2X- i)
2 Sin-)l '