Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LA FORMULE DE MACLAUR1N.

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ment, en effet,
S(X)1=- -X1,
S()3 = XX2
i6 '
S()5 -- _(2X1X2+ 5X),
192
s(X)7 = 3 ( 6X1X3-+ 42X2X2- 3 X),
2304........................................
Or X,, qui s'annule pour x- o et x I, n'admet dans l'intervalle de ces deux racines, qu'un seul maximum, correspondant
a la valeur x -, comme le montre la derivee
2
D X n = - 2 7zx2 -1 - 2 n ( -X )2n-1.
Cette valeur ne dependant point de n, fournit par consequent le
maximum de toute fonction rationnelle entiere et a coefficients
positifs des quantites X,., et il est ainsi prouve que le polynome ( —i)-1 S(x)2n+,, est positif quand la variable croit
de x = o a x I=, et acquiert sa valeur la plus grande pour x -
2
Je passe al'equation (2) qui concerne les polynomes d'indices pairs,
et en ecrivant le premier membre sous la forme + sin2 sin~X
je developperai ]e logarithme de la quantitd si2 - 'I On sera
sin 9
ainsi amene a employer l'expression
X0= I- (2X -1)2T
qui permettra d'ecrire
sin-2 X(2x-i) _ BIXO )2 B2X~0;
log- -- log(x- ) - -- 2 -....
sino - (2) 2 (4) 4
ct par suite
2sin2 (x ---) (2X — i)e (2) 2 (4) 4
sin~I
2

Les polynomes X,~ possedent la meme propriete que les prece