Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

426 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
et l'on en conclura ces deux egalites, ou je fais pour abreger
(n)= - 1.2.3... n:
sinXx1 sinll-,,,X3 X
( ) sin:x sn; — -- S(X)l — S(X)3+ S() —..,
sinI, =3) (5)
sin XcosX X2 X4
(2) S siX2 2 — I) S()o-) - S(x)2-4- S(x) —....
sin (2) ()
Ceci pose, la formule suivante dans laquelle B, B2, etc., designent
suivant l'usage les nombres de Bernouilli. I - I B1 x2 B,2 X B,, x2.
log sin -x log -x......
2 2 (^) 2 (4) 4 (2n) 2(
conduit a une expression analytique des polynomes S(x),,, qui
met immediatement en evidence les proprietes decouvertes par
M. Malmsten. En considerant d'abord la premiere de nos deux
relations, on en deduit en effet
sin;m x sin (x —I) I B1 2
log sin2 -- =log x(X —)+-[1 —x 2 -(I-)2] - -
sin X 2 (2) 2
+[lI-x -(I-X)4]
(4) 4
--...........................
I [ 2 II 2- (I - X)27L] -
(2 n) f n
-4-...........................
Posant done
X,,= I - X^2,- (i- X)2 -et observant que
X =-2- '(. -- ),
nous avons cette formule
* ~n i A *; s in 1 I / \I^ BXI ),2 BX3 )/,
sinAx sin.^X(x —l) _ X l e -) - - '
S 2ill9-X1 (2), + )
sin I 4
dont voici les consequences. Je remarque que le developpement
de l'exponentielle, suivant les puissances de X, donnera pour le
coefficient d'une puissance quelconque de cette indeterminee,
une fonction rationnelle et entiere des quantites XI, X2,.., Xn
dont les coefficients seront tous positifs. On trouvera successive