Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

EXTRAIT D'UNE LETTRE DE M. CH. HERMITE A M. L. FUCHS. 423
ment periodique qui devient infinie pour les m valeurs
t = a, bc,..., 1.
Elle ne peut done s'annuler, d'apres un theoreme connu de la
theorie des fonctions elliptiques, que pour m valeurs de t, dans
l'interieur du rectangle des periodes 2 K et 2 iK', et la courbe ne
pouvant etre coupee qu'en m points par une droite quelconque,
est bien d'ordre m.
Ce meme raisonnement applique a la polaire, dont les coordonnees sont
x - y,;x
X-. y_ x I
xy ~x y xy' - xt y
en determine le degre.
Effectivement les intersections de cette seconde courbe avec la
droite aX + Y +- y = o sont donnees par l'element
ay+ 3x'- +(xy'- yx') = o,
et vous voyez, que son premier membre est une fonction doublement periodique, admettant les infinis doubles t a, b,..., 1, de
sorte qu'on a 2 m racines, et par suite 2 m points d'intersection.
Connaissant l'ordre de la polaire des courbes de Clebsch, 8 = 2 m
le nombre d des points doubles de ces courbes en resulte immediatement, comme consequence de la relation 2 d -- 8 min (n - i)
donnee dans mon Cours d'Analyse (p. 385); on trouve ainsi par
une voie facile la proposition fondamentale d -m(in -3)
demontree par Clebsch (t. 63 de ce Journal, p. 189).
Paris, 29 juin I876.
P.-S. - La determination des points d'inflexion de la cubique
plane, et des points stationnaires de la quadrique dans l'espace,
dependent des equations suivantes:
Z'(t-a)-Z'(t-c) Z'(t- b)-7Z(t —c)
-— o
Z"(t-a) -Z"(t-c) Z"(t-b)- Z"(t-c)
et
Z' (t-a)-Z' (t-d) Z' (t-b)-Z' (t-d) Z'(t-c)-Z (t-d)
Z"'(t-a)-Z"'(t-d) Z"(t- b)-Z"(t-d) Z"(t-c)- Z"'(t-d) =o.
Z"' (t -a)-Z"'f(t-d) Z"' (t-b)-Z"'(t-d) Z"' (t - c) - Z"' (t - d)