Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Je reviens h la Geometrie plane pour considerer les courbes de
Clebsch, dont les coordonnees sont des fonctions elliptiques d'un
parametre, que je prends sous la forme suivante:
x = xo-q A Z(t- a) B Z(t - b) —...+ L Z(t- 1),
y =yo+ A'Z(t - a) B'Z(t -b) -+...4 L'Z(t -),
en supposant toujours
A = o, AA'= o.
Le succes de la methode precedente dans le cas de la cubique m'a
fait tenter d'etablir par la meme voie que x et y satisfont a une
equation algebrique d'un de.gre egal au nombre des transcendantes: Z(t-a), Z(t- b),..., Z(t -). Mais les choses se
passent alors moins simplement. Considerez en effet les diverses
fonctions homogenes de x et y, jusqu'au degre V., dont le nombre
sera 2 + 3 4...- +f + I = - (-'A + 3, ), et soit m le nombre des
transcendantes. Toutes ces fonctions doublement periodiques
s'expriment lineairement par les diff6rences: Z(t )- Z(t- 1),
Z(t - b) - Z(t - l),..., en nombre n - I, puis par les derivees
jusqu'a l'ordre u. - i, des quantites Z(t - a), c'est-a-dire en tout
par m - i -4-+ m( - J) fonctions. Afin donc de pouvoir effectuer
el'limination de ces fonctions, je pose la condition
(i2 -+ 3 J) = Mt i -' P ) = mn ti
qui me donne -. = m- 3, de sorte queje parviens par cette voie
a une courbe d'ordre 2m - 3, au lieu d'obtenir l'ordre m. Le
procede qui reussit dans le cas de 7 = 3, donne done en general
un degre trop eleve, et j'ai du completement y renoncer, comme
methode d'elimination. Mais l'existence, au moins, d'une equation de ce degre m se prouve tres facilement. Considerez pour
cela une droite arbitraire ax + fy + y o, dont les points de
rencontre avec la courbe s'obtiennent en determinant t par l'equation
ax0 - Pyo+ty + (Aa -+ A' )Z(t - a) - (BC + B',3)Z(t -)....= o.
Le premier membre de cette equation est une fonction double