Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'EXTENSION DU TIHEOREME DE 1I. STURM. 31
ment on voit de suite la possibilite d'obtenir par le calcul des quantites S., S2,..., les divers coefficients de la fonction A(E, f), qui
jouent dans cette question le role de fonctions auxiliaires du theoreime de M. Sturm. D'ailleurs aucun cas d'exception ne pent ici se
presenter a moins que l'equation F(x) = o n'ait des racines
egales. Mais, meme alors, nous pouvons conserver la fonction
A(i, 7l), dont le premier terme Ao (i,. r) disparait, car les deux suivants A, et A2, s'il existe par exemple deux racines egales, se
trouvent prendre la meme forme analytique et jouer le meme r6le
que les deux premiers. Nous developperons ce qui se rapporte a ce
sujet dans un autre Memoire.
XII. II suffira d'un peu d'attention pour reconnaitre qu'on peut
etendre a un nombre quelconque d'equations simultanees les principes appliques precedemment a deux equations a deux inconnues.
Nons en donnerons un exemple en considerant le systeme suivant:
F(x) = o,
~ (x) =y,;(x)= z,
oi nous supposerons que les fonctions F et W sont rationnelles et
ne deviennent infinies pour aucune valeur satisfaisant a la premiere
equation F(x) o. Soient toujours x,, x.,..., x,, les racines de
cette equation, YI, 1y, Y-,..,., y,, z,,m les determinations correspondantes des inconnues y et z, et Ui la somme symetrique
y, Zl,x + y,22 zx.-... +- y,,,,,,) XL,
nous considererons encore le determinant
U1-X U2 3.. U,,
U2 U3- ) U;... U/,+1
A= U Ua U - U —... U,2+
U/. U,,T+- U+~ ~ -- U21,, —I — )
de meme forme analytique que les precedents. Cela pose, si l'on
substitue x + a, y + -, 3 +. aux inconnues proposees, il devien —
dra fonction de E, -,i,, et nous le representerons par
A(, A, -)= A0(,, ) +,(~4,, ( ) +...+ (-),.