Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS -DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 4i5
ou le terme independant de 8, qui sera setil a considerer, est
X = (X,+ s0- (x-i K') + + ()
Elle fait voir que les formules, pour n =- 2 et n. 2- --
D Tv -IDf-'/ ) 1)2v-3.f(x)
F(x) = DX h )3f() D., f (x),
puis
F) 2- 'f(X) -^- - -h f( -) -... — h _ f(x),
conliennent chacune un terme en ~, qui est, pour la premiere,
2 -1 )2V-3
- eo(r —iKi') [r( - + /th r( 2 -. * *+ lll
r L r (,2 -',
et, dans la seconde,
eo;-2 )2) 4
~eo(.x-_iK,) - + — "h, - + + --:I
r '2 v(',v. -- 3)
T1 est donc necessaire, afin d'obtenir des quantites finies en faisant
- o, que X0 satisfasse a ces equations
Ia2-1 )2V-3
( I2) -)-( --- +...- h v-i X 0= o,
r (, ) l r(_,v —
2V -2 )2V-4
(. v --- -r -(- v —3 )0
Cela etant, les expressions de F(x) se transforment de ]a maniere
suivante.
Soit, en general,
f(x)- eXX,
en designant par A et X une constanle et une fonction quelconques.
On voit aisement que la quantite
AD/e(x)-4- A D-l/f(x)+... -+- An/f(x),
si l'on admet la relation
AX -+ - AIX'-it -... +- A/,t = o,