Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

ce qui donne la condition
VSv-+- (v - I)hi s-l I — (v -- 2)h2sv —2 -+...+ J^v- h v I +1;
je dis que la fonction doublement periodique
Dx F(x)- [n(n + I)k2 sn2x - h] F(x)
est necessairement nulle. Si, apres avoir pose x = iK'-+- s, on la
developpe en effet suivant les puissances croissantes de s, non
seulement la partie principale, mais le terme independant disparaitront, comme on l'a vu au paragraphe XLIV (p. 392). De ce que
la partie principale n'existe pas, on conclut que la fonction est
constante; enfin cette constante elle-meme est nulle, puisqu'elle
s'exprime lineairement et sous forme homogene par le terme independant de:, et les coefficients des divers termes en -
Soit ensuite n = 2v - i; le developpement qu'on tirede l'equation differentielle, a savoir
I -h hv-ri
Y s2V ---1 s 2V-3 - -..
contenant un terme en-, on doit tout d'abord le faire disparaitre
en posant h_, o, pour en deduire une fonction doublement
periodique de premiere espece, qui sera de cette maniere
/ D2-'(Sn2 ) kD2 -s /n sn2X)
D2F(k sn) h -D- (k- sn- hv-2 Dx(k2 snx).
r(2v - i) r(2v - 3)
Cela etant, et en nous bornant a la partie principale, on aura
F hi hv-2
F(iK'+- ) ---...+
S2V-1 ~ '2V- 3.
il en resulte que, si on laisse indeterminee la constante h, le developpement de l'expression
D2 F(x) - [n(n + i)k2 sn2x + h] F(x),
apres avoir pose x = iK' +-, commencera par un terme en -3
Mais faisons h,_i o; comme on peut ecrire alors
I I h) hV —2 +hv-,
F(iK' 4- s) = -.I -8 f- -i
p2V-1 h2V -3 ~3 -