Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

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je poserai, dans le cas de n 2v,
P. = p,) h pv- /l2p^V-2 - -..h4- h,- Pi 4- p Zy,
Q = qv — hi qv --- h/qv- 2+... / hv-,qI - hV,
R = 7- 4- li h2_ hrv-a+ 2. - i — h,2v-i ri - yv;
puis, en supposant n - 2v - i,
P = (.v —i)P,+ (, - 3)hlpv-I+...+ hvlpl — hu,
Q = (t\, - i) qy+ (2v - 3)hi q — -... h4 - h- q 1- hv,
R = (2,- ) r, +- (2'v - 3)/i h rv-x +...+ *h-I r — h;
cela etant, les equations
P = o, Q = o, R = o
determineront les valeurs particuliieres de h auxquelles correspopident les trois especes de solutions que nous avons considerees,
et l'on voit que dais les deux cas elles sont toutes du degre v.
11 ne nous reste plus maintenant qu'a obLenir les solutions de la
quaLrieme espece dont la periodiciti est celle de sn2x, mais elles
se Ideduisent moins immddiatemnent que les precedentes de l'expression genderale de F(x); ii est necessaire, en effet, de supposer
alors la constante )X et sn o infinis; je donnerai en premier lieu une
mdthode plus directe et plus facile pour y parvenir.
Soit d'abord I =- 2v; je remarque que Loute solution de l'dquation diff6rentielle par une foncLion doublement periodique de premiere espece resulte du developpement
h, hhY=-.-s2 2V-2 —...- +et sera donnee par l'expression
Dn-l (k2 sntx) h - X (k) sn'2) h ' 2x)
F(_) = __ r(__ + x -.... hhv( ---skX)
St- i h sV-2 - V-1l
4+ - hv- so - hV-i o h2 -- ----
3 ' 2V-3 2V - I
Cela etant, disposons de h de maniere a avoir

F(iK'+ - - + =+"...-h4- --- hv+- -,
SL CE2Y —'L 2