Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

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Or on en deduit, en faisant x = iK'-+- e et se rappelant qu'on a
suppose n- 2v, l'Pgalite suivante,
bt- rL —l b b'
( i f) ai ) a a' /N ( b b'
d'oue nous tirons
p = a,
pxo = b V/N,
pa l at,
Eliminons l'indetermionee p et remplacons les coefficients ao,
a,,... par leurs valeurs du paragraphe L (p. 406); on aura ces
relations
b d'
eta
I. t
h,-+- (X2- )- Q ) —,
La premiere donne l'expression de i, et nous reconnaissons, par
cette voie, qu'elle ne contient d'autre irrationnalite que \/N. On
obtiendrait la meme conclusion dans le cas de n- v —i, et
c'est le resultat que j'avais principalement en vue d'elablir, apres
avoir demontre que sn2wo est une fonction ration lelle de h. L'etude
des solutions de Lame qui correspondent aux racines de l'equation N = o nous permettra, comme on va le voir, d'aller plus
loin et d'approfondir davantage la nature de ces expressions de )
et sn2.
JI.
On a vu au paragraphe XLIX (p. 404) que l'inte.orale generale
de l'equation differentielle n'est plus representee, lorsqu'on a
N = o, par la formule
y- = C F(x) - C' F(- x),
le rapport F( se reduisant alors a une constante, et, comme
r (- x)
consequence, nous avons etabli que les multiplicateurs de la fonction de seconde espece deviennent, au signe pres, egaux a l'unite.